《葬送的芙莉蓮》防禦魔法是每一面都是六邊形的球體，現實世界中可能存在嗎？ - TNL The News Lens 關鍵評論網

近日在動漫《葬送的芙莉蓮》（葬送のフリーレン）中出現的防禦魔法，是個每一面都是「六邊形」的球體。此圖案一出現後，隨即有數學愛好者表示這是現實中不可能存在的形狀。然而一般大眾或許不太能理解，為什麼這樣的形狀不可能出現？會不會只是他們信口雌黃，也許努力嘗試一下，其實可以畫出這種形狀的球體？如果真的不存在的話，有什麼數學定理或工具可以證明嗎？

在數學上還真的有定理可以說清楚它不存在的原因。本文將以歐拉示性數（Euler characteristic），證明這樣每個面都是六邊形的六角形球體不可能存在。

歐拉示性數

在正式開始講解證明前，筆者先介紹一下什麼是歐拉示性數。

一個球面上的多面體必須滿足以下公式：

V－E＋F＝2

其中，V（vertex）是點的個數，E（edge）是邊的個數，F（face）則是面的個數。若以文字表示的話就是「點個數減去邊個數加上面個數必須等於二」。該公式最早由法國數學家笛卡兒（René Descartes）於1635年證明，但當時較不為人知。之後瑞士數學家歐拉（Leonhard Euler），也於1750年獨立證明了這個公式。1860年，人們發現笛卡兒在過去也曾證明此公式，因此將該公式命名為歐拉－笛卡兒公式。

我們舉幾個例子驗證歐拉－笛卡兒公式。例如底下五個空間中的正多面體，正四、六、八、十二、二十面體都會滿足歐拉－笛卡兒公式。

正四面體也就是正三角錐，每一面皆為正三角形，它有4個點、6條邊、4個面，所以代入公式後：4－6＋4＝2，正確無誤。再來看看正六面體。正六面體其實就是立方體，具有8個點、12條邊、6個面，所以代入公式為8－12＋6，結果也會是2。若還是不太相信的讀者，也可以再試著算算看正八面體、正十二面體、正二十面體帶入歐拉－笛卡兒公式後算出來的結果，可以發現這五個正多面體都滿足歐拉示性數（表一）。事實上，球面上的任意多面體都必須滿足歐拉示性數，並不侷限於正多面體。

由於歐拉已經證明球面上多面體的點線面個數必須滿足此這公式，如果不滿足就代表它必定不存在。因此我們可以再回頭看看六邊形球體，只要套用公式檢查它的V－E＋F是否等於2，就可以知道它是不是真的存在。首先假設這個六邊形球體有n個面，而且每一面都是六邊形，再來思考一下它會有幾個點？理論上會有6n個點，因為每一個面都是由6個點形成的六邊形。再仔細觀察一下此六邊形球體，每個點有幾條邊？答案是3條，也就是說每一個點是被3個不同的六邊形共用。所以我們必須除以3，所以實際上會有2n個點。

緊接著，我們要考慮邊的數量。理論上因為有n個面，且每個面都是六邊形、有六條邊，則一共有6n條邊。但我們一樣必須考慮重複計算的部分。觀察一下，每條邊被幾個六邊形共用？答案會是2。也就是每條邊都被重複算了兩次，因此我們將6n除以2，也就得到3n條邊。

最後來整理一下數據，我們假設了六邊形球有n個面，然後根據「點」被共用三次，「邊」被共用兩次，計算後就會得到V＝2n（2n個點），E＝3n（3n條邊），F＝n（總共n個面）。代入公式後得到2n－3n＋n＝0，答案顯然並不等於2。於是根據歐拉示性數，每個面都是六邊形的多面體不可能存在於球面上！

三維空間中有多少正多面體？

另外，歐拉示性數也可以用來證明，在三維空間中只存在五種正多面體，分別就是前面討論過的正四、六、八、十二、二十面體，這五個正多面體也有人稱呼為「柏拉圖立體」（Platonic solid）。正多面體必須長得很規則，每個面都要是一模一樣的正多邊形，且每個邊長都一樣長，每個點連出去的邊個數一樣多。所以我們不妨先假設每個面都是正k邊形、每個點都有d條邊。假設我們現在有F個面，每個面都是正k邊形，所以一共有F×k條邊，但是每條邊都被兩個面共用，所以要除以二。於是邊的個數就是E＝Fk/2，則F＝2E/k。接著考慮每個點都有d條邊相連，總共有V個點，又因為每條邊都被兩個點共用，所以總共有E＝Vd/2的等式，所以V＝2E/d。

最後再把這兩個等式代入歐拉示性數：

兩邊共除2E再移項一下可以得到

由於E是整個正多面體邊的個數，所以一定是正整數，因此1/d＋1/k＞1/2，d與k必須是正整數且大於2。但也不能太大，因為倒數和必須大於1/2，所以d、k不可能都同時大於4。那麼d、k至少有一個是3或4，嘗試一下便可以找出所有滿足1/d＋1/k＝1/E＋1/2的正整數解，就是（d,k）＝（3,3），（3,4），（4,3），（3,5），（5,3）。這五種解就分別對應到正四、六、八、十二、二十面體。

舉例來說，正四面體就是（3,3），每個點有三條邊相連，每個面是正三角形；正六面體是（3,4），每個點有三條邊，每個面是正方形（k＝4）；正八面體是（4,3），每個點有四條邊，每個面是正三角形。剩下兩個，我們留給讀者自行確認。究竟（3,5）、（5,3）哪個是正十二面體，哪個又是正二十面體呢？其實這兩個結構具對偶關係，也就是可以把點和面的情形互換，而正六面體、正八面體也有類似的關聯性。

生活處處皆數學

我們希望藉這個例子讓讀者體會與想像歐拉當年有多厲害，可以證明球面上多面體的點線面個數必須要滿足此等式。在距今大約300年前，也就是1750年時，歐拉就證明了這個公式，對應到中國歷史上的年代是清朝乾隆15年。如果再考慮笛卡爾證明此公式的1635年，那就是明朝末年，比1644年清兵入關還早。當時東西方的數學程度差距，可見一斑。

至於歐拉怎麼證明出這個公式，在數學的分類裡此證明過程屬於拓墣學（topology）的範疇。由於難度、篇幅的限制，本文沒有提到太多拓墣學知識，有興趣的讀者可以自行搜尋看看歐拉示性數。過往在教授三維空間只有五種正多面體時，筆者都會使用歐拉示性數來驗證三維空間中正多面體的數量。而這次出現在動漫中的六角形球體，同樣能用此公式證明它不存在。希望讀者能藉此有趣，並且體會到生活中無處不數學，連看動漫時都可以引發出歐拉示性數的證明。最後，也希望讀者可以仔細挖掘與觀察生活周遭的事物與問題，會發現生活處處都是數學！

本文經科學月刊授權刊登，原文刊載於此

原標題：歐拉示性數 每一面都是六邊形的球體有可能存在嗎？

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責任編輯：蕭汎如

核稿編輯：翁世航